となる。そして、��t≈0（衝撃的相互作用）であるから��t一次のオーダーで近似すると、それぞれ、

　　　　　　　　ψ_A+ (y , ��t)＝C{1 + (i��t/ћ)(αyk_n  +  iαξ∂/∂y)}ψ_A(y , 0)　　　　                          　 (9.4)
　　　　　　　　　　　　 ψ_A−(y , ��t)＝C{1−(i��t/ћ)(αyk_n  +  iαξ∂/∂y)}ψ_A(y , 0)　　　                 　　　 (9.5)

となり、これが本節における出発点となる。なお、C＝exp(-i��tβμ/ћ)とした。

　続いて、初期状態として用いる波束を、

　　　　　　　              　ψ_A(y , 0)＝∫dkφ(k)exp(iky)                                     　　　　　　　 (9.6)

とする。なお、言うまでもなく積分範囲は−∞〜＋∞である。

９．３　数式の展開

　まず、式(9.6)を式(9.4)に代入すると、

　　　　　　　ψ_A+ (y , ��t)＝C∫dkφ(k){1 + (i��t/ћ)(αyk_n  −  αξk)}exp(iky)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≈ C∫dkφ(k)exp{(i��t/ћ)(αyk_n  −  αξk)+iky}                                    (9.7) 
                       (��t一次のオーダーで、1 + (i��t/ћ)(αyk_n  −  αξk) ≈ exp{(i��t/ћ)(αyk_n  −  αξk)})

となる。これが、衝撃的相互作用が消失した直後にexp(ik_nx)と相関する状態であるが、これ以降の系のハミルトニアンは自由ハミルトニアンH₀＝−ћ²∇²／2m により時間発展する。この発展の様子を調べるために、式(9.7)にH₀を作用させると、

　　　　　　　H₀ψ_A+ (y , ��t)＝C∫dkћ²（k+αk_n��t/ћ）²／2m ・φ(k)exp{(i��t/ћ)(αyk_n  −  αξk)+iky} 

　　　　　　　H₀^n'ψ_A+ (y , ��t)＝C∫dkћ^2n'（k+αk_n��t/ћ）^2n'／（2m）^2n' ・φ(k)exp{(i��t/ћ)(αyk_n  −  αξk)+iky}

    　　　　　　　 exp(−itH₀／ћ)ψ_A+ (y , ��t)＝Σ(−it／ћ)^n'／n'!・H₀^n'ψ_A+ (y , ��t)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   ＝C∫dkΣ{−itћ（k+αk_n��t/ћ）²／2m}^n'／n'!・φ(k)exp{(i��t/ћ)(αyk_n  −  αξk)+iky}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   ＝C∫dkφ(k)exp{(i��t/ћ)(αyk_n  −  αξk)+iky−itћ（k+αk_n��t/ћ）²／2m}

であるため、それ以降の波動関数ψ_A+ (y , t)は、

　　　　　　　　　　　ψ_A+ (y , t)＝C∫dkφ(k)exp{(i��t/ћ)(αyk_n  −  αξk)+iky−itћ（k+αk_n��t/ћ）²／2m}　　　　(9.8)

となる。式(9.8)より、波束の中心(位相が極値をとるy)を求めるためexpの中をkで偏微分すると、

　　　　　　　　　　iy　− 　(i��t/ћ)αξ−itћ（k+αk_n��t/ћ）／m

であり、kのある項を除き0と置くと

　　　　　　　　　　iy　− 　(i��t/ћ)αξ−itαk_n��t／m＝0

　　　　　　　　　　　　     　y＝ ��tαξ/ћ  +  tαk_n��t／m                                    (9.9) 

となる。従って、ψ_A+ (y , t)は確かにy正方向に進行しており、その速度及び運動量は、

　　　　　　　　　　　v_y+＝  αk_n��t／m                                                  (9.10) 

                                   p_y+＝  αk_n��t                                                        (9.11)

であり、前節と同じ結果であることがわかる。

　同様にして、ψ_A- (y , t)についても求めると、y負方向に進行しており、その速度及び運動量は、

                      v_y-＝  −αk_n��t／m                                                  (9.10) 

                                   p_y-＝  −αk_n��t                                                        (9.11)

であり、やはり前節と同じ結果である。

９．４　観測可能性について

　本節では、前節のように不確定性原理に反するような仮定は用いず、ψ_A(y , 0)の初期状態を波束として計算してみたが、結局は同様な結論が得られた。しかし、実験によってx方向の運動の向きが観測可能であるためには、磁場から得る運動量、δp=±αk_n��tが、初期状態の運動量のばらつき��p₀よりも十分に大きいことが必要である。前節でも説明したとおり、初期状態の運動量が磁場から得る運動量より大きい場合には、x方向の運動の向きと無関係にy方向の運動の向きが定まってしまうためである。従って、

　　　　　　　　　　　αk_n��t=eBћk_n��t／2m >> ��p₀

つまり、　　　　　　　　　　　　B��t >> 2m��p₀／eћk_n　　　　　　　　　 　 (9.12)

という条件が要求される。

　また、波束はそれ自体時間とともに広がるものであるから、各波束の進行速さが波束の広がる速さより遅いのでは、正確な観測はできなくなる。概ね波束の広がる速さは、��p₀／mであるため、

　　　　　　　　　　　αk_n��t／m>>��p₀／m

つまり、　　　　　　　　　　　　αk_n��t>>��p₀