量子力学の基礎概念

８．１　運動量の観測モデル　

　ここでは、観測過程の理論を具体的なモデルに適用してみる。よく知られている実例はシュテルン・ゲルラッハの実験であるが、これについては後述することとし、ここでは私がオリジナルに考案した、箱型ポテンシャルの波動関数を用いた簡単なモデルに適用してみることとする。なお、後述するようにこのモデルには欠陥があるが、観測過程の理論が具体的なモデルに適用される様子を理解することはできる。
　まず、0＜x＜Lにおける１次元箱型ポテンシャルの波動関数ψ_S(x)は、規格化因子を除いて、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ψ_S(x)＝sin(nπx/L)＝sin(k_nx)＝(exp(ik_nx)−exp(-ik_nx))／2i 　    (8.1)
                                           (k_n＝nπ/L  とした。）

である。式(8.1)の最右辺を見てみると、規格化因子を除いて、exp(ik_nx)と−exp(-ik_nx)という２つの運動量固有関数の重ね合わせの状態であり、固有値がそれぞれћk_nと-ћk_nであることがわかる。つまり、１次元箱型ポテンシャルの波動関数ψ_S(x)は、運動量ћk_nと-ћk_nの重ね合わせの状態であると見ることもできる。
　さて、ここで系の対象を電子であるすれば、x方向と垂直なz方向から短い時間だけ磁場をかけると、ローレンツ力によりy方向に運動量を有する状態が生じることが予想される。さらに、運動量のy成分は運動量のx成分の方向によって正負のいずれかの方向となるかが決まるから、xz平面と平行かつy軸上の正と負の位置に２枚の感光板を設置すれば、古典的な対象である感光板との相互作用により波束の収縮が生じて、どちらの感光板が発光するかにより、ψ_S(x)の運動量の方向が観測できるように思われる。

　これをシュレディンガー方程式で表したいのだが、まずは古典的なラグラジアンから求めてみる。磁場がある際のラグラジアンLは、Aをベクトルポテンシャル、-eを電子電荷、をm電子質量とすれば、

                                   　　　　　　　L ＝ mṙ ² ／2 −eṙ ･A                         　　　　　　　　　　　　  (8.2)

である。ここから共役運動量p ＝∂L／∂ṙ を求めると、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　p　＝ mṙ −eA 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (8.3)

となるから、ハミルトニアンHは、

　　　　　　　　　　　　　　　 H　＝ p･ṙ−L　＝ p･(p + eA )/m−(p + eA )² ／2m  + e(p + eA ) ･A／m
                                                          ＝ (2p² + 2ep･A− p²−2ep･A−e²A² + 2ep･A + 2e²A² )／2m
                                                          ＝ (p² +2ep･A + 2e²A²)／2m 
                                                          ＝ (p + eA)²／2m                                                         (8.4)

のようになる。量子力学的なハミルトニアンを求めるには、p⇒−ћ∇という変換をすればよく、

　　　　　　　　　　　　　　　 H　＝ (−iћ∇+ eA)²／2m＝(−ћ²∇²−i eћ∇･A−i eћA･∇−i eћA･∇+ e²A²)／2m
                                                           ＝(−ћ²∇²−i eћ∇･A−2i eћA･∇+ e²A²)／2m

となる。さらに、クーロンゲージをとり∇･A＝0とすれば、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　H ＝(−ћ²∇²−2i eћA･∇+ e²A²)／2m      　　　　                               　(8.5)

である。ここで、クーロンゲージ∇･A＝0を考慮して、ベクトルポテンシャルを具体的に定めると、磁場はz方向にのみで一様な大きさBであるとすれば、B＝∇×Aであることより、

　　　　　　　　　　　　　　　　A＝(-By/2 , Bx/2 , 0)                                            (8.6)

となる。従って、ハミルトニアンは、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　H　＝{−ћ²∇² + i eћB(y∂/∂x−x∂/∂y)+ e²B²(x²+y²)／4}／2m        (8.7)

となる。

式(8.7)の第一項は明らかに自由粒子のハミルトニアンであるから、前節の式(7.4)から相互作用の間は無視することができ、さらに相互作用の直前でy²≈0とすれば、相互作用ハミルトニアンH_Iは、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 H_I ＝{ i eћB(y∂/∂x−x∂/∂y)+ e²B²x²／4}／2m　　                                    (8.8)

となる。

さて、ここで前節の内容と対比させると、観測の対象となるオブザーバブルはP_xで、式(7.6)の固有値mはћk_nまたは-ћk_n 、固有関数v_m(x)はexp(ik_nx)または−exp(-ik_nx)であり、

　　　　　　　　　　　　　　　　　P_xexp(ik_nx)＝ћk_nexp(ik_nx)                                             (8.9)
　　　　　　　　　　　　　　　　                      P_xexp(-ik_nx)＝-ћk_nexp(-ik_nx)                                    (8.10)

となる。また、式(7.7)のH_I(M,y)はxが変数として加わるが、H_I(P_x,y)として表すと、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　H_I(P_x ,y ,x)＝{ − eByP_x− i eћBx∂/∂y+ e²B²x²／4}／2m　　　          　(8.11)

となる。さらに、式(7.8)はC_m＝1とすることができ(運動量が負の固有関数を−exp(-ik_nx)としたため)、

　　　　　　　　　　　　　　 ψ_S(x)＝exp(ik_nx)−exp(-ik_nx)　　　　　　　                     　(8.12)

である。(規格化因子を省いた)

　ここで、量子系Aの波動関数をψ_A＝ψ_A(y ,t)とすれば、式(7.9)と同様に結合系の波動関数ψ(x, y, t)は

　　　　　　　　　　　　　　 ψ(x ,y ,t)＝ψ_Aψ_S＝ψ_A(y,t){exp(ik_nx)−exp(-ik_nx)}                            (8.13)

８．２　シュレディンガー方程式の解析

　ここで、式(8.14)の解を求めたいが、記述を簡単にするため、

　　　　　　　　α＝eBћ／2m　　　　　　　　　β＝e²B²／8m                                                           (8.15)

と置くと、式(8.14)は、

 iћ{exp(ik_nx)−exp(-ik_nx)}(∂ψ_A/∂t)＝−αyk_n{exp(ik_nx)＋exp(-ik_nx)}ψ_A＋{exp(ik_nx)−exp(-ik_nx)}{−iαx∂ψ_A/∂y+ βx²ψ_A}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　 (8.16)　

となる。ここで、exp(-ik_nx)／Lの積をとり0＜x＜Lの範囲で積分すると、

　　　　　　　　∫exp(-ik_nx)exp(ik_nx)／L dx＝1               ∫exp(-ik_nx)exp(-ik_nx)／L dx＝0

                     　∫xexp(-ik_nx)exp(ik_nx)／L dx＝L／2        ∫xexp(-ik_nx)exp(-ik_nx)／L dx＝iL／2k_n

                        ∫x²exp(-ik_nx)exp(ik_nx)／L dx＝L²／3     ∫x²exp(-ik_nx)exp(-ik_nx)／L dx＝iL／2k_n＋1／2k_n²

を用いることにより、

　　　　　　　　iћ∂ψ_A+/∂t＝−αyk_nψ_A+−iαξ∂ψ_A+/∂y+βμψ_A+ (8.17)
　　　　　　　　　　（ξ＝L／2−iL／2k_nμ＝L²／3−iL／2k_n−1／2k_n²）

となる。(この場合のψ_Aをψ_A+とした。)

同様にして、−exp(ik_nx)／Lの積をとり0＜x＜Lの範囲で積分すると

　　　　　　　  iћ∂ψ_A-/∂t＝αyk_nψ_A-＋iαξ^_*∂ψ_A-/∂y＋βμ^_*ψ_A- (8.18)

となる。(この場合のψ_Aをψ_A-とした。)　　

ここで、式(8.17)の複素共役をとると、

　　　　　　　　　　　iћ∂ψ_^*A+/∂t＝αyk_nψ_^*A+＋iαξ_^*∂ψ_^*A+/∂y+βμ_^*ψ_^*A+ (8.19)

 となり、ψ_^*A+＝ψ_A-ψ_^*A-＝ψ_A+であることがわかる。

式(8.17)と式(8.18)は、形式的に解を表すことができ、t＝0で相互作用が磁場( 0, 0, B )が発生したとするとt＝��tでは、

　　　　　　　　ψ_A+(y , ��t)＝exp(-i��tβμ/ћ)exp{(-i��t/ћ)(−αyk_n−iαξ∂/∂y)}ψ_A(y , 0)　　　　    　(8.20)
　　　　　　　　　　　　 ψ_A-(y , ��t)＝exp(-i��tβμ^_*/ћ)exp{(-i��t/ћ)(αyk_n＋iαξ^_*∂/∂y)}ψ_A(y , 0)　　　　　　 (8.21)

となる。

　ここで、��t≈0なので式(8.19)を��t１次のオーダーで近似すると、

　　　　　　　　　　　　ψ_A+(y , ��t)≈exp(-i��tβμ/ћ){1＋i��t/ћ(αyk_n＋iαξ∂/∂y)}ψ_A(y , 0)                      (8.22)

である。初期状態でy方向の運動量を0とすれば、∂ψ_A(y , 0)/∂y＝0であるから、

　　　　　　　　ψ_A+(y , ��t)≈exp(-i��tβμ/ћ)(1＋i��tαyk_n/ћ)ψ_A(y , 0)                                        (8.23)

となり、(1＋i��tαyk_n/ћ)≈exp(i��tαyk_n/ћ)として運動量固有値を求めると、

　　　　　　　　　　　　-iћ{∂ψ_A+(y , ��t)/∂y}/ψ_A+(y , ��t)＝��tαk_n＝��teBћk_n／2m　　　　　　　　　　　 (8.24)

である。同様にして、ψ_A-(y , ��t)について求めると、

　　　　　　　　-iћ{∂ψ_A-(y , ��t)/∂y}/ψ_A-(y , ��t)＝−��tαk_n＝−��teBћk_n／2m　　　　　　　　    (8.25)

となり、それぞれの運動量の方向が古典的なローレンツ力と一致することがわかる。

　一方、波動関数は、(1＋i��tαyk_n/ћ)≈exp(i��tαyk_n/ћ) 、(1−i��tαyk_n/ћ)≈exp(-i��tαyk_n/ћ) という近似を用いると、

　　　　　　　　　　　　 ψ_A+(y , ��t)≈exp(-i��tβμ/ћ)exp(i��tαyk_n/ћ)ψ_A(y , 0)                                     (8.26)
　　　　　　　　　　　　　ψ_A-(y , ��t)≈exp(-i��tβμ/ћ)exp(-i��tαyk_n/ћ)ψ_A(y , 0)                                     (8.27)   

であるが、初期状態でy方向の運動量を0とすれば、∂ψ_A(y , 0)/∂y＝0であるから、磁場が無い場合のハミルトニアン
H'₀ ＝−ћ²∂²/∂y²／2mを作用させると、

　　　　　　　　　 H'₀ ψ_A+(y , ��t)＝ (��tαk_n)²ћ／2m  ψ_A+(y , ��t)                                      (8.28)
                                  H'₀ ψ_A-(y , ��t)＝ (��tαk_n)²ћ／2m  ψ_A-(y , ��t)                                         (8.29)

となり、いずれも H'₀ の固有関数である。従って、t＝��tで磁場が消失してもその後ψ_A+(y , ��t)　ψ_A-(y , ��t)は、時間による項
(exp(-i(t−��t)(��tαk_n)²／2m))を除きそれぞれ式(8.26)式(8.27)の波動関数が保持される。(つまり、定常状態である)

一方、結合系の波動関数はt＝��tにおいて、

　　　　　　　　　　　　　　ψ(x ,y ,��t)＝exp(ik_nx)ψ_A+(y , ��t)−exp(-ik_nx)ψ_A-(y , ��t)　　　　　　　　　 (8.30)

であり、前節の式(7.13)や式(7.14)に相当するが、これにH₀＝−ћ²∇² ／2mを作用させると、

　　　　　　　　　 H₀ψ(x ,y ,��t)＝ {ћ²k_n＋(��tαk_n)²ћ} ／2m ψ(x ,y ,��t)                             (8.31)

となり、H₀の固有関数である。従って、t＝��tで磁場が消失後もψ(x ,y ,��t)は、時間による項(exp(-i(t−��t){ћk_n＋(��tαk_n)²／2m))を除き、式(8.30)の波動関数が保持される。（つまり、定常状態である)

さて、式(8.30)の波動関数ψ(x ,y ,��t)は、ψ_S(x)の重ね合わせの状態を保持したまま定常状態として時間発展するため、このままでは運動量の方向を観測することはできず、観測するためには波束の収縮を起こす必要がある。前節の議論により、波束の収縮を起こすには古典的な系との相互作用が必要であったが、ここで古典的な系として用いられるのが、xz平面と平行かつy軸上の正と負の位置に置かれる２枚の感光板である。つまり、どちらの感光板に発光点が表れるか(電子が粒子性の痕跡を残すか)によってψ_A+(y , ��t)かψ_A-(y , ��t)のいずれかが定まり、式(8.30)の多重的な構造にから

　　　　　　　　　　ψ(x ,y ,��t)　⇒　　exp(ik_nx)ψ_A+(y , ��t)

　　　　　　　　　　　　　ψ(x ,y ,��t)　⇒　−exp(-ik_nx)ψ_A-(y , ��t)　

のどちらかの収縮が生じ、ψ_S(x)における運動量の方向を観測できるのである。

８．３　モデルの欠陥

　一応、具体的なモデルに前節の観測過程の理論を適用できているように見えるが、この運動量の方向を観測するモデルには、欠陥がある。ψ_A(y , 0) に対して、最初にy²≈0と仮定したにも関わらず、y方向の運動量を0とみなしているが、これは運動量と位置の両方を確定することになり、不確定性原理からこのような状態は存在しない。y²≈0とすれば、必然的に初期状態でψ_A(y , 0)は運動量を有することになり、これを仮にћk₀(k₀は正負いずれも取り得る)とすれば、式(8.24)の運動量は大まかにいって、ћk₀+��teBћk_n／2mとなる。k₀は正負いずれも取り得るのであるから、k₀＜0で |k₀| ＞��teBћk_n／2mである場合にはy方向の運動量は負となり、y軸の負の位置にある感光板に発行点が生じることになり、ψ_S(x)の運動量の方向は正しく観測されない。これと同じことは。式(8.25)にも言える。

８．４　運動量の大きさ

式(8.24)式(8.25)により運動量の大きさも示されているが、これが古典的な理論値と一致するかを確認してみる。

　まず、式(8.3)を時間により微分すると、

　　　　　　　　　　　　　　　dp/dt ＝mdṙ/dt −edA/dt ＝mdṙ/dt −e{∂A/∂t＋(∂A/∂x)v_x＋(∂A/∂y)v_y＋(∂A/∂z)v_z}  　　

となる｡これに式(8.6)のAを代入すると、

                                dp/dt ＝mdṙ/dt −e{(B/2)v_xe_y− (B/2)v_ye_x}

となるが、ここでy方向のみを取り出すと、

　　　　　　　　　　　　　　dp_y/dt ＝md²y/dt² −e(B/2)v_x

となる。ローレンツ力が働いているのだから運動方程式は、md²y/dt² ＝ev_xBとなるため、これを代入すると、

　　　　　　　　　　dp_y/dt ＝ev_xB −e(B/2)v_x＝eBv_x／2＝±eBћk_n／2m

となる。(最後の項は、v_x＝±ћk_n／m)これにより、微小な時間t＝��tでは、

　　　　　　　　　　p_y＝±eBћk_n��t／2m

となり、式(8.24)式(8.25)と一致することがわかる。(なお、p_yは共役運動量であるからp_y≠mv_yであることに注意)

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