量子力学の基礎概念

　位置演算子と運動量演算子が与えられると、位置と運動量の標準偏差の積の下限として不確定性原理を形式的に導くことができる。まず、その前提として、期待値と分散の定義を与える。

重ね合わせの状態Ψ＝Σc_n|a_n>において、オブザーバブルAを観測するものとする。なお、|a_n>はAの固有状態であるとする。第１章で与えた定義４(｢重ね合わせの状態Ψ＝Σc_n|a_n>でオブザーバブルAの理想的な観測を行うと、c_mc_m^*の確率で観測値a_mが得られる。｣)より、オブザーバブルAについて理想的な観測を行うとその期待値E[A]は、

　　　　　　　　　　E[A]＝Σa_nc_nc_n^*＝Σc_n^*Ac_n|a_n>＝ΣΣ<a_m| c_m^* Ac_n|a_n>＝（Ψ，AΨ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5.1)

となる。

続いて、分散V[A]＝E[A²]−E[A]²であるが、まずA^'Ψ＝AΨ−E[A]Ψという量を考えてみる。なお、当然のことながらE[A]は実数である。A^'Ψの絶対値を求めてみると、

　　　　　　　　　　｜A^'Ψ｜²＝(A^'Ψ　，A^'Ψ)＝(AΨ−E[A]Ψ　，AΨ−E[A]Ψ)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(AΨ　，AΨ)−E[A](AΨ　，Ψ)−E[A](Ψ　，AΨ)＋E[A]²(Ψ　，Ψ)
　　　　　　　　　　　　　　　＝(ΣAc_n|a_n>　，ΣAc_m|a_m>)−E[A]²−E[A]²＋E[A]²(Aが自己共役演算子のため、(AΨ　，Ψ)＝(Ψ　，AΨ))
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝(Σa_nc_n|a_n>　，Σa_mc_m|a_m>)−E[A]² ＝ΣΣa_n^*c_n^*a_mc_m<a_n|a_m>　−E[A]²
                                                            ＝Σa_n²c_n^*c_n−E[A]²        (a_nは実数のため、a_n ＝a_n^*である。また、<a_n|a_m>＝δ_n,m  )  
                                                                               ＝E[A²]−E[A]²                                                                                                                                                 　(5.2)   

となることがわかる。よって、

　　　　　　　　　　 V[A]＝｜A^'Ψ｜²＝E[A²]−E[A]²                                                                                                                               (5.3)   

である。なお、Ψの固有状態であれば、 V[A]＝０となり、確定的な値が得られることなる。これは、定義３(あるオブザーバブルAの固有状態|a_n>でAを観測する理想的な観測を行うと、観測値としてa_nが得られる。)と一致する内容を示すものである。

さて、ここでもう一つのオブザーバブルBとシュヴァルツの不等式

　　　　　　　　　　　　　　　｜(ψ　，φ)｜≦　||ψ|| ||φ||                                                                                                              (5.4)

を用いると、

                                 ||AΨ|| ||BΨ|| ≧｜(AΨ　，BΨ)｜≧｜Im(AΨ　，BΨ)｜                                                   (5.5)

となることがわかる。そして、

　　　　　　　　　　Im(AΨ　，BΨ)＝{(AΨ　，BΨ)−(AΨ　，BΨ)^*}/2i
                                                        ＝{(AΨ　，BΨ)−(BΨ　，AΨ)}/2i
                                                                      ＝{(Ψ　，ABΨ)−(Ψ　，BAΨ)}/2i　　　　　（AとBは自己共役演算子である。）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝{(Ψ　，[A ，B]Ψ)}/2i                       　   ([A ，B]＝AB−BA)              (5.6)

である。これを、(5.5)に代入すると、

　　　　　　　　　　　　　　 ||AΨ|| ||BΨ|| ≧｜Im(AΨ　，BΨ)｜＝｜Im({(Ψ　，[A ，B]Ψ)})｜/2　　　　　　　　　　　　　　　(5.7)

となる。また、A^'＝A−E[A]、B^'＝B−E[B]は、

であるから、

　　　　　　　　　　　　　　　 ||A^'Ψ|| ||B^'Ψ|| ＝(V[A])^1/2(V[B])^1/2≧｜Im(A^'Ψ　，B^'Ψ)｜

                                                              ＝｜Im({(Ψ　，[A^' ，B^']Ψ)}｜/2　＝｜Im({(Ψ　，[A ，B]Ψ)})｜/2　        (5.9) 

となる。AとBの交換関係を、[A ，B]＝cとし、それぞれの標準偏差を(V[A])^1/2＝ΔA，(V[B])^1/2＝ΔBと表せば、

　　　　　　　　　　　　　　　ΔAΔB≧｜Im({(Ψ　，[A ，B]Ψ)})｜/2　＝ |c| /2                                              (5.10)

であることがわかる。

そして、位置Xと運動量Pの交換関係は、[X ，P]＝i（原子単位系なので、ћ＝１）であることから、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ΔXΔP≧｜Im({(Ψ　，[X ，P]Ψ)})｜/2　＝ 1/2                                               (5.11)

という、不確定性原理の関係が導かれる。

　ところで、不確定性原理の導出過程で、期待値や標準偏差という統計的な概念を用いた。一般的に統計というのは、何らかの集団の傾向を扱うものであるが、ここで扱った集団は粒子の集団ではなく、固有状態の集団を扱っている。つまり、固有状態の重ね合わせの状態から、観測により１つの固有状態に収縮する期待値やその標準偏差を扱っているのである。
　さて、不確定性原理の説明は、ハイゼンベルクによる顕微鏡の思考実験を用いるものがある。この種の方法は、直感的にわかりやすいが、何か技術的な問題として誤解してしまう危険がある。ハイゼンベルクも「不確定性原理は、量子論が扱う様々な量の値が、知識としてわれわれに同時に与えられる可能性における不確定性の度合いを述べたものである。」(『Heisenberg Chicago Lectures』より)としており、知識が不足しているのであれば、もっと正確な値を知ることでき、それは同時に確定できるような印象を受ける。このことを補うかのように、観測による擾乱の操作不可能性と予測不可能性が強調され、不確定性原理が『原理』(つまり、それ自体導かれること無いもの）とされたのであろう。（余談であるが、これに観測により知ることができない概念(例えば、同時確定的な位置や運動量）は定義することもできないという不可知論のような、観測と概念の分割不可能性が加えられ、ついには相補性の原理に至ったのが量子力学の基礎概念の発展史であると思われる。）
　これまで進めてきたフォーマリズムで、この操作不可能性と予測不可能性はカバーされている。重ね合わせの状態から、観測によりどの状態に収縮するかは、操作することも予測することもできないことは、定義４（重ね合わせの状態Ψ＝Σc_n|a_n>でオブザーバブルAの理想的な観測を行うと、c_mc_m^*の確率で観測値a_mが得られる。また、観測直後の状態は|a_m>となる。）より明らかである。逆に言えば、不確定性原理は『原理』ではなく、量子力学のファーマリズムに必然的に内在する性質の１つであると考えることができる。

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