量子力学の基礎概念

３．１　ユニタリー演算子

　ユニタリー演算子Uを定義する。

　　　　　　　                     　UU^*＝I　　　　　　　　　　　                　　　　（3.1）

 (3.1)がユニタリー演算子の定義である。なお、I は恒常演算子である。従って、

　　　　　　　　　　　　U ^-1＝U^*                                                    (3.2)

とすることもできる。さて、この演算子をある完全規格化直交関数系|a_n>に作用させ、|b_n>とすると、

　　　　　　　　　　　　　　　　　 |b_n>＝U|a_n>　　　　　　　|b_n>^*＝(U|a_n>)^*

となるが、共役な関数の添字をmとしてこの内積を求めると、

　　　　　　　　　　　　　　　　　（|b_m>^*,|b_n>）＝（(U|a_m>)^*，U|a_n>）＝<a_m|U^*U|a_n>＝<a_m|a_n>＝δ_m,n

　続いて、ある自己共役演算子Lに対して、

　　　　　　　　　　　　T＝U LU ^-1＝ULU^*　　　　　　　　　　　　　                  （3.3）

という演算を行い、この共役を取ってみると、

　　　　　　　　　　　　　　　　　T^*＝(ULU^*)^*＝U (UL)^*＝UL^*U^*＝ULU^*（最後の項は、Lが自己共役演算子であることを用いている）

となるため、T^*＝Tであることがわかる。つまり、自己共役演算子に(3.3)の演算を行うと自己共役演算子となることがわかる。そして、この演算は行列とのアナロジーからユニタリー変換と呼ぶことにすれば、「自己共役演算子のユニタリー変換は、自己共役演算子になる。」ということができる。

　さて、「完全規格化直交関数系にユニタリー演算子を作用させると、完全直交規格化関数系になる。」というのは、内積が保存されることを意味する。従って、このことを逆に考えるとユニタリー演算子を作用させて得た完全直交関数系は、全く異なる関数系に変わるのではなく、大きさは同じであるが、位相が異なるだけの関数系に変わるのではないか、考えることもできる。つまり、

　　　　　　　　　　　　　　　　　|b_n>＝U|a_n>＝exp(iR)|a_n>　　　(Rは実数）   （3.4）

ということである。そして、Rが実数となることより、これを|a_n>の固有値と関連付けて、R＝qa_nとおくと(qも実数)、

　　　　　　　　　　　　　　　　　|b_n>＝exp(iqa_n)|a_n>　　　　　　　　　　　　　 (3.5)

となる。恐らく、勘の鋭い人ならここで定常状態のシュレディンガー方程式の時間項を思い浮かべるかも知れないが、恣意的になることを避けるため、敢えてそれを使わず、A|a_n>=A|a_n>を満たす自己共役演算子Aを用いて、あるユニタリー演算子を、

                                     U (q)＝exp(iqA)　　　　　　　　　　　　　　　 (3.6)

と表してみることにする。そして、テイラー展開を行うと、

　　　　　　　　　　　　　　　　　U (q)＝1+(iqA)+(iqA)²/2!+(iqA)³/3!+(iqA)⁴/4!+･･･+(iqA)^m/m!+･････

となる。A^m|a_n>＝(a_n)^m|a_n>なので、これを|a_n>に作用させると、

　　　　　　　　　　　　　　　　　U (q)|a_n>＝(1+(iqa_n)+(iqa_n)²/2!+(iqa_n)³/3!+(iqa_n)⁴/4!+･･･+(iqa_n)^m/m!+･････)|a_n>
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝exp(iqa_n)|a_n>                                                      (3.7)

となる。続いて、(3.7)に左からAを作用させると、

　　　　　　　　　　　　　　　　　AU (q)|a_n>＝(1+(iqa_n)+(iqa_n)²/2!+(iqa_n)³/3!+(iqa_n)⁴/4!+･･･+(iqa_n)^m/m!+･････)A|a_n>
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝a_nexp(iqa_n)|a_n>　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3.8)

であることがわかる。なお、U (q)A|a_n>を求めても(3.8)の右辺と同じになることが容易にわかり、AU (q)＝U (q)Aである。

さて、ここで(3.7)をqで微分すると、

　　　　　　　　　　　　　　　　 d(U (q)|a_n>)／dq＝ia_nexp(iqa_n)|a_n>＝iexp(iqa_n)A|a_n>
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝iAU (q)|a_n>＝iU (q)A|a_n>　　（(3.8)より）　　　　　　　　　 　(3.9)

となる。

３．２　時間発展演算子

　ここで、３．１の演算子等を次にように置き換える。

　　　　　　A⇒H　　　　|a_n>⇒|E_n>　　　　a_n⇒E_n　 　　q⇒t

すると、(3.7)(3.9)は次のように置き換わる。

                                   U (t)|E_n>＝exp(itE_n)|E_n>                                                      (3.10)

　　　　　　　　                  d(U (t)|E_n>)／dt＝iE_nexp(itE_n)|E_n>＝iexp(itE_n)H|E_n>＝iHU (t)|E_n>＝iU (t)H|E_n>　　 (3.11)

　さて、(3.10)と(3.11）が、どこかで見た形となっていることに気付くであろう。(3.10)の右辺は、定常状態における波動関数と同形であり、表示を与えるとexp(itE_n)<x|E_n>＝exp(itE_n)φ_n(x)で、まさにその通りであることがわかる。そうすると、<x|U (t)|E_n>＝exp(itE_n)<x|E_n>＝Ψ(x,t)とし、(3.11)に適用すれば、

                                   d(<x|U (t)|E_n>)／dt＝dΨ(x,t)／dt＝iH<x|U (t)|E_n>＝iHΨ(x,t)

                                   ∴ 　　　　−idΨ(x,t)／dt＝HΨ(x,t)

となり、時間発展のシュレディンガー方程式となることがわかる。

このことから、シュレディンガー方程式による時間発展とは、

　　　　　　　　　　　　　　　　U (t)＝exp(itH)                                                              (3.12)

のような、ユニタリー演算子が作用することで起こっていることがわかる。(3.12)の演算子を時間発展演算子という。

時間発展の大きな特徴は、変化が連続なことである。この時間発展演算子の作用には、次のような性質があり、連続な変化を起こすことと親和性がある。

まず、

　　　　　　　　　　　U (t+s)＝U (t)U (s)＝U (s)U (t)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　    　　　(3.13)

このことから、無限小正数εについて

　　　　　　　　　　　　　　　　U (t+ε)＝U (t)U (ε)＝U (t)exp(iεH)＝U (t)（1+(iεH)+(iεH)²/2!+(iεH)³/3!+(iεH)⁴/4!+････）

　　　　　　　よって、　(U (t+ε)−U (t))／ε＝U (t)iεH（1+(iεH)/2!+(iεH)²/3!+(iεH)³/4!+････）／ε
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝U (t)iH（1+(iεH)/2!+(iεH)²/3!+(iεH)³/4!+････）

            ゆえに　　lim_(ε→0)(U (t+ε)−U (t))／ε＝U (t)iH

このことから、

　　　　　　　　　　　　　　　　U (t)H＝(-i)lim_(ε→0)(U (t+ε)−U (t))／ε＝(-i)lim_(ε→0)exp(itH)(exp(iεH)−1)／ε　　　　(3.14)

特に、t=0では、

　　　　　　　　　　　　　　　　H＝(-i)lim_(ε→0)(U (ε)−1)／ε＝(-i)lim_(ε→0)(exp(iεH)−1)／ε　　　　　　　　　　　　　　 　(3.15)

となる。

　この時間推進演算子を、ユニタリー変換に用いることで、「シュレディンガー描像」(波動力学)と「ハイゼンベルク描像」(行列力学)間の変換を行うことができるが、この点についてはいずれ後述する。

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