場の量子論‐伝播関数(量子力学的なピンボールゲーム)

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量子力学的なピンボールゲーム（運動量保存ポテンシャル）

　前節では、自由粒子の伝播関数を扱ったが、ここでは簡単な外部ポテンシャルがある場合の１粒子伝播関数を考察する。外部ポテンシャルとして、運動量が保存されるポテンシャルを利用するが、これはピンボールゲームを量子的に取り扱うことに相当する。
　２つのポテンシャルＶ_ＭとＶ_Ｌから影響を受けて系の中を運動する粒子を扱うが、まずポテンシャルＶ_ＭとＶ_Ｌが無い場合のハミルトニアン、波動関数及びエネルギーが次のように与えられているものとする。

　　　　　　　　　　　　　　　　Ｈ₀＝－∇²／２m　　　φ_k(r)＝ｅｘｐ(i k･r)／Ω　　　ε_k ＝ k²／２m
　　　　 Ωは、規格化定数であり、＝１とした。また、スピンは省略した。　　　　　　　　　　　(1.28)

そして、運動量を保存するポテンシャルを、
　　　　
　　　　Ｖ(p)＝Ｖ_Ｍ＋Ｖ_Ｌ＝Mp²＋Lp⁴＝－M∇²＋L∇⁴　　　　　　　　　　　　　　　　(1.29）

とし、M、Lは実数の定数で、M>>Lであるとする。古典的なピンボールゲームに対比すれば、ポテンシャルがピンとなる。

時間t₁に粒子が状態φ_k1(r)=ｅｘｐ(i k₁･r)／(Ω)^1/2で系にあり、ポテンシャルＶ_Ｍ＝Mp²とＶ_Ｌ＝Lp⁴により、散乱を受ける。そして、(1.1.7)の定義よりiＧ(k₂,k₁，t₂－t₁)_t₂＞t₁は、その後粒子が時間t₂に状態φ_k2(ｒ)=ｅｘｐ(ik₂･ｒ)／(Ω)^1/2にある確率振幅に等しい。そして、古典的なピンボールゲームからのアナロージーによれば、この確率振幅は、状態φ_k1(ｒ)から状態φ_k2(ｒ)へと系の中を運動するあらゆる経路の確率振幅の和に等しい。

例えば、最も簡単な経路は粒子がポテンシャルの散乱を全く受けない経路である。この確率振幅は(1.21)の自由粒子伝播関数
δ_k2,k1Ｇ₀⁺(k₂ ,t₂－t₁)と等しい。さらに、時刻t₁にφ_k1(ｒ)にあり自由運動し、時刻t_MにポテンシャルＶ_Ｍにより散乱され、
状態φ_k2(ｒ)になり時刻ｔ₂まで自由運動する等がある。
　

なお、ポテンシャルはいつでも散乱をしており、ピンボールゲームのように散乱する回数というのは考えられないように思えるが、これは摂動展開の考えたそのものである。初歩的な量子力学の教科書には、摂動展開の物理的意味までは説明されないことが多いが、摂動展開における次数は粒子がポテンシャルにより散乱される回数に対応している。摂動展開の近似計算では、通常１次とか２次までというようにある次数までで計算を打ち切るが、０次＋１次＋２次・・・・とすべての次数を足し上げるとこれは近似計算ではなく正確な計算となる。従って、ポテンシャルによる散乱は、散乱が０回から無限回までが同時に起こるとして計算したものともいえる。
　

では、ポテンシャルＶ_Ｍ　により散乱１回散乱される場合の確率振幅を計算してみるが、これは時間依存の摂動によって得られる。つまり、ｃ_sを時間t₀で系が状態φ_sにある確率振幅としたとき、摂動Ｖの影響の下で時間tに状態φ_Pに系がある確率振幅の時間微分は、

QUANTMUFIELD-1-5.S1.30IM.PNG - 3,252BYTES

となる。なお、Ｖps＝<p｜Ｖ｜s>であり、φsとφpでとったポテンシャルの行列要素である。
　

考察しているのは、時間t₀＝ t_Mで系は定義によりφ_k1(ｒ)であり、ｃ_s＝δ_s_,k1となる。また、Ｖ＝Ｖ_Ｍである。
よって、時間t_Mでφ_k1(ｒ)からφ_p＝φ_k2(ｒ)に系が遷移する確率振幅の時間微分は、

QUANTMUFIELD-1-5.S1.31IM.PNG - 5,307BYTES

となる。δ_k2,k1はこの過程での運動量保存を示し、散乱の前後で運動量は変化しない。よって、確率振幅は

QUANTMUFIELD-1-5.S1.32IM.PNG - 3,631BYTES

であるが、θ関数により、－∞＜t_M＜∞として差し支えない。
　同様にして、Ｖ_Ｌのポテンシャルを行列要素で表現すると、

－iＶ_Ｌ_{_{k2 k1}}＝－iLk_1^⁴δ_k2,k1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1.33)

となり、同じく運動量は保存される。このようにして、２回、３回、４回・・・・とＶ_ＬやＶ_Ｍに散乱される過程を足し合わせていくと、（1.34)のようにＧ⁺(ｋ,t₂－t₁)が求まる。なお、運動量が保存されることから、k＝k₁＝k₂である。また、両辺の虚数はiは両辺ともi×（・・・）となるため落とすことができる。

QUANTMUFIELD-1-5.S1.34IM.PNG - 18,290BYTES

　　古典的なピンボールゲーム場合と同様に、（1.34)両辺のフーリエ―変換を取ることにより、積分を無くすことが可能であり、(1.14)のように、

　　　Ｇ⁺(k,ω)＝Ｇ₀⁺(k,ω)＋[Ｇ₀⁺(k,ω)]²Ｖ_{Ｍ_kk}＋[Ｇ^{_{_0^⁺}}(k,ω)]²Ｖ_{Ｌ_kk}＋[Ｇ₀⁺(k,ω)]³Ｖ_{Ｍ_kk^{^²}}
　　　　　　　　　　　　　　＋２[Ｇ₀⁺(k,ω)]³Ｖ_{Ｌ_kk}Ｖ_{Ｍ_kk}＋[Ｇ_0^⁺(k,ω)]³Ｖ_{Ｌ_kk}²＋[Ｇ₀⁺(k,ω)]⁴Ｖ_{Ｍ_kk}³＋・・・・・　(1.35)

となり、これを計算することができる。すなわち、

Ｇ⁺(k,ω)＝Ｇ₀⁺(k,ω)｛１＋[Ｇ₀⁺(k,ω)]（Ｖ_{Ｍ_kk}＋Ｖ_{Ｌ_kk})＋[Ｇ₀⁺(k,ω)]²（Ｖ_{Ｍ_kk}＋Ｖ_{Ｌ_kk})²
　　　　　　　　　　　　　　＋（[Ｇ₀⁺(k,ω)]³（Ｖ_{Ｍ_kk}＋Ｖ_{Ｌ_kk})³＋[Ｇ_0^⁺(k,ω)]⁴（Ｖ_{Ｍ_kk}＋Ｖ_{Ｌ_kk})⁴＋・・・・・}
　　　　　　　　　＝Ｇ₀⁺(k,ω)／{１－[Ｇ₀⁺(k,ω)]（Ｖ_{Ｍ_kk}＋Ｖ_{Ｌ_kk})}
　　　　　　　　　＝1／{[Ｇ₀⁺(k,ω)]－１－（Ｖ_{Ｍ_kk}＋Ｖ_{Ｌ_kk})}
　　　　　　　　　＝１／{ω―ε_k＋iη－(Ｖ_{Ｍ_kk}＋Ｖ_{Ｌ_kk})}　・・・・(1.26)より
　　　　　　　　　＝１／{ω―k²／２m＋iη－Mk²－Lk⁴}・・・・(1.28)及び(1.29）より　　　　　　　　　　(1.36）

　となる。

ここで、Ｇ⁺(k,ω)の極を求めると、
　　　　　　　　　　　　

ω＝k²／２m＋Mk²＋Lk⁴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1.37）

である。これは、（1.27）よりポテンシャルＶ_ＭとＶ_Ｌがある場合の粒子のエネルギーである。この結果は、通常の方法で固有値を求めた場合、つまり

　　Ｈφ_k1(ｒ)＝（∇²／２m－M∇²＋L∇⁴)φ_k1(ｒ)
　　　　　　　　　　　　＝（k²／２m＋Mk²＋Lk⁴)φ_k1(ｒ)

と同じ結論となることがわかる。

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