時間に依存する伝播関数

   これまでの考察を、時間に依存する伝播関数Ｐ(r_j,r_i,t_j−t_i)に拡張する。ここで、t_j−t_iと記述したのは、散乱が時間に依存しない場合、伝播関数は時間の差のみに依存することによる。
　

　Ｐ₀(r_j,r_i,t_j−t_i)を、時間t_iにr_iにあった粒子が散乱を受けずに、時間t_jにr_iに達する確率とする。このような、散乱を受けない運動の伝播関数を自由伝播関数という。また、Ｐ(Ａ)を散乱点と粒子の相互作用を表すものとし、考察を単純化するため、この相互作用は散乱点に粒子が達すると瞬時に生じるものとする。
　

　まず、伝播関数が時間依存する場合に、数式と記号（ダイアグラム）の変換表を拡張させると表1.2のようになる。なお、ダイアグラムを描く際には、ｙ方向を時間が増加する方向にとることとする。

　そして、これを用いてダイアグラムを描くと次のようになる。

　ここで、散乱点Ａで散乱が起こる時間t_Aという時間は、t₁とt₂の間のある瞬間であり、決められていないことに注意しなければならない。例えば、時間t₁にr₁にあった粒子が、散乱点Ａで１回散乱を受け、時間t₂にr₁にある確率を計算するには、t₁とt₂の間のすべての時間t_Aで散乱が起こる確率を重ね合わせなければならない。（式(1.9)）

                     Ｐ((r₁, t₁)→Ａ→(r₂,t₂)）＝          dt_AＰ₀(r_A,r₁，t_A− t₁)Ｐ(Ａ)Ｐ₀(r₂,r_A，t₂−t_A)                   (1.9)

従って、(1.8)を数式で表すと、次のようになる。

このように記述すると多重積分がたくさん現れ、計算が困難なように思われるが、フーリエ―変換を用いることにより、簡単な積に置き換えることができる。
　Ｐ₀(r_j,r_i  ，t_j− t_i)をフーリエ―変換を用いて表すには、

                           Ｐ(r_j,r_i  ，t_j − t_i )＝０　　　（t_j   ≦ t_i）　　　　　　　　　　　　　　　  　　　(1.11)

すると

となる。従って、このような積分を(1.10）のすべての項について行い、最終的に逆フーリエ―変換すると、

そして、(1.8)は(1.15)のように描かれる。

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