伝播関数のイメージをより明確にするために、確率振幅では無く確率を用いた伝播関数を考察する。このために、図1.2.1のようなピンボールゲームを用いることにする。
時間t1に玉がr1にがあり、ピンの間を散乱されながら通り、時間t2にr2に達する確率を、Ｐ(r2 ，t2 ，r1 ，t1 )と表す。
また、ピンにおける散乱は次のようなものとする。
(1)ピンＡに玉が達した時に、散乱される確率をＰ(Ａ)とし、錯乱されずに通り抜ける確率を１−Ｐ(Ａ)とする。
(2)ピンＡに散乱された後の玉の速度及び経路は、散乱される前の玉の速度及び経路には依存しない。
考察を簡単にするために、時間を考慮しないものとし、玉がr1の位置からあった場合に、最終的に静止する位置がr2である確率Ｐ(r2,r1)のみを考える。確率の定義から、Ｐ(r2,r1)は玉がr1からr2に至るあらゆる経路の確率の和となる。
例えば、どのピンからの散乱も受けることなく、直接r1からr2に運動することもあれば、r1からピンＣまで移動し、ピンＣによって散乱されr2に移動することもある。さらに、r1からピンＢまで移動し、ピンＢで散乱されピンＦに移動し、ピンＦでも散乱されr2に移動にしたり、あるいは、r1からピンＤまで移動し、ピンＤで散乱を２回受けr2に移動にする等、あらゆる経路の確率の和がＰ(r2,r1)である。
では、このＰ(r2,r1)を実際に求めることを考える。最も単純なのは、どのピンからの散乱も受けることなく直接r1からr2に運動する経路である。この経路の確率をＰ0(r2,r1)とする。（なお、この経路は必ずしも直線ではないことに注意。散乱を受けないあらゆる経路の和となる。）
次に、ピンＡに散乱された後に、r2に達する確率を考えてみる。まず、r1からピンＡまで散乱されず運動する確率は
Ｐ0(rA,r1)であり（rAはピンＡの位置）、ピンＡで散乱される確率はＰ(Ａ)である。その後、ピンＡから散乱されずにr2に達する確率は、Ｐ0(r2,rA)であるから、ピンＡに散乱された後に、r2に達する確率＝Ｐ0(rA,r1)Ｐ(Ａ)Ｐ(r2,rA)となる。同様にして、
ピンＢに散乱された後に、r2に達する確率＝Ｐ0(rB,r1)Ｐ(Ａ)Ｐ0(r2,rB)
ピンＣに散乱された後に、r2に達する確率＝Ｐ0(rC,r1)Ｐ(Ａ)Ｐ0(r2,rC)
ピンＤに散乱された後に、r2に達する確率＝Ｐ0(rD,r1)Ｐ(Ａ)Ｐ0(r2,rD)
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である。
散乱は１回とは限らず、２回起こることもある。その場合は、
ピンＡに２回散乱された後に、r2に達する確率 ＝Ｐ0(rA,r1)Ｐ(Ａ)Ｐ0(r2,r2)Ｐ(Ａ)Ｐ0(r2,rA)
ピンＡに散乱された後、ピンＢに散乱されr2に達する確率＝Ｐ0(rA,r1)Ｐ(Ａ)Ｐ0(rB,rA)Ｐ(Ｂ)Ｐ0(r2,rB)
ピンＡに散乱された後、ピンＣに散乱されr2に達する確率＝Ｐ0(rA,r1)Ｐ(Ａ)Ｐ0(rC,rA)Ｐ(Ｃ)Ｐ0(r2,rC)
ピンＡに散乱された後、ピンＤに散乱されr2に達する確率＝Ｐ0(rA,r1)Ｐ(Ａ)Ｐ0(rD,rA)Ｐ(Ｄ)Ｐ0(r2,rD)
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である。
さらに散乱は１回２回のみならず何回でも起こることがあり、これらすべての項を足しあげたものが、Ｐ(r2,r1)となる。
Ｐ(r2,r1)＝Ｐ0(r2,r1)＋Ｐ0(rA,r1)Ｐ(Ａ)Ｐ0(r2,rA)＋Ｐ0(rB,r1)Ｐ(Ｂ)Ｐ0(r2,rB)
＋・・・＋Ｐ0(rA,r1)Ｐ(Ａ)Ｐ0(rA,rA)Ｐ(Ａ)Ｐ0(r2,rA)＋Ｐ0(rA,r1)Ｐ(Ａ)Ｐ0(rB,rA)Ｐ(Ｂ)Ｐ0(r2,rB)＋・・・・・
(1.1)